인공위성궤도의 필수 6요소_The classical orbital elements(COEs) (장반경, 이심률, 궤도경사, 승교점이각, 근점편각, 진근점이각 등)

먼저 인공위성의 ‘궤도’란 어떤 물체가 중력에 의해 떨어져 움직이는 길을 뜻한다.궤도의 형태에는 원과 타원포물선 쌍곡선이 있는데, 아마도 많은 이공계 학생들은 이를 표현하는 예로 원추 도형을 보았을 것이다.알고 있는 아폴로니우스가 2000년 전 밝힌 이차 곡선의 진정한 정의로 그 모습은 다음과 같다.

원뿔절단면에 의한 이차곡선출처 : 네이버 블로그 이미지

간단히 설명하자 엔화_Circle:원추의 회전축에 직교하는 평면으로 절단할 경우에 발생하는 초점을 수직으로 연장했을 때, 원뿔의 정점으로 접하다.타원_Eleptical:원추의 회전축의 법선과 원뿔의 모선이 이루는 예각에 해당하는 모퉁이에 절단하는 경우에 발생하고 초점이 둘 있다.포물선_Parabola:원추의 회전축과 모선이 이루는 예각에 해당하는 모퉁이에 절단될 때 발생한다.쌍곡선_hyperbola:원추의 회전축과 원뿔의 모선이 이루는 예각에 해당하는 모퉁이에 절단하는 경우에 발생한다.우주의 무수한 천체는 이러한 이차 곡선의 하나의 형태를 하고 궤도를 가지고 있지만 인공 위성은 원과 타원 형태를 갖게 된다.앞으로는 오늘의 주제인 궤도 요소(Orbitelements)에 대해서 본다.

궤도 요소 (영어): 구글

궤도 요소는 특정 궤도를 식별하기 위해 필요한 변수를 가리킵니다.실제 궤도에서는 태양풍이나 대기 등 외부적인 요인에 의한 섭동으로 근사치에 머물게 되지만 일반적인 궤도 요소는 총 6개의 케퍼러 요소를 따릅니다. 6개의 궤도 요소는 다음과 같습니다.장반경(Semi-majoraxis, a)입니다

장 반경 출처 : Wikipidia

장반경(혹은 긴 반지름)은 근점과 원점의 평균값이다.타원에서 장반경은 중심과 두 초점을 지나는 긴 지름의 절반을 의미하며 a로 표기되지만 반대로 단반경은 b로 나타낸다.학창시절에 배웠듯이 타원의 반경을 이용하여 모양을 나타내게 되는데, 그에 대한 식은 다음과 같다. $\frac{\combi{\left(x-h\right)}^2}{\combi{a}^2}+\frac{\combi{\left(y-k\right)}^2}{\combi{b}^2}=1$(x−h)2a2+(y−k)2b2=1

궤도의 크기는 Kinetic energy와 관련이 있는데, kinetic energy를 입실론으로 표현했을 때 $\E =-\frac{\mu}{2a}left(\mu=GM\right)$ℇ=-μ2a(μ=GM)이다. 여기서 다시 위성의 위치와 속도 벡터를 고려하면, $\E=\frac{\combi{v}^2}{2}-\frac{\mu}{R}$ℇ=v22-μR로 표현할 수 있다. 위의 공식은 매우 자주 사용되고 그만큼 중요하니 알아두자.2. 궤도이심률(Eccentricity, e)3종류의 케플러 궤도(타원, 포물선, 쌍곡선)출처 : 구글타원 형태를 말한다.즉 타원이 정확한 원으로 얼마나 움직이고 있는지를 설명한다.부가적으로 엔:e=0타원:0<e<1포물선:e=1쌍곡선:e>1을 나타낸다.이심률은 두 초점 간의 거리와 주축의 비율은 e=c/a로 나타내지만 그 경우 위치와 속도 벡터로 표현하기가 쉽지 않다.그러므로 다음과 같은 수식을 사용한다.$\overrightarrow{e}=\frac<1}{\mu}\left[\left(\combi<v]^2-\frac{\mu}{R}\right)\overrightarrow{R}-\left(￥overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{v}\right)\overrightarrow{v}\right]$e=1μ[(v2− μR)R−(R·v)v]$\\.=\frac<1}{\mu}\left(￥overrightarrow{v}\times\overrightarrow<h}\right)-\frac{\overrightarrow{R}}{\left|. combi{\overrightarrow{R}}\right|}$=1μ(v× h)− R| R|타원궤도 구성요소와 반경, 속도출처: Pressbooks또는 Ra나 Rp가 알려져 있는 경우(Respective 초점거리, 근점까지의 거리) Ra=a(1+e)Rp=a(1-e)를 이용해도 이심률을 구할 수 있다.3. 궤도경사(inclination, i)궤도경사도 처출: 프리북스위 그림에서 좌표축을 제외하고 i와 h가 표기되어 있는데, 여기서 i는 궤도 경사 구배를 말하며 h는 k축과 각운동량 사이의 벡터를 말한다. 따라서 우리는 다음과 같은 매우 간단한 공식을 이용하여 위 그림의 궤도 경사를 구할 수 있습니다.$\cos \theta = \frac(오른쪽 화살표 {A}\cdot\오른쪽 화살표 {}B}{AB}$cos()=A·BAB$\cos \theta = \frac(오른쪽 화살표 {A}\cdot\오른쪽 화살표 {}B}{AB}$cos()=A·BAB이제 궤도 경사의 값을 알 수 있었으므로 경사 값에 따른 대략적인 형태를 아래 그림에서 살펴보겠습니다.기울기의 정의4. 상승 노드의 오른쪽 어센션, RAAN,Ω승교점 경도가 90도인 경우 이미지 소스: Prebooks승교점 경도란 궤도가 기준면 아래에서 위로 지나가는 지점을 말하며 기준점에서 반시계 방향으로 승교점까지 측정한 각도승교점 경도라고 한다. 게다가 태양계에서의 기준치를 춘분점이다.승교점 경도 값은 0~360도까지 모두 가능하지만 고려해야 할 상황이 있다. 만약 nj<0이라면 승교점 경도 값은 180도에서 360도 사이의 값을 갖는다. 또는 Ωscond half plane=360 degres-Ωscond half plane으로 표현할 수 있지만 사실 머릿속으로 떠올려보면 당연한 이야기라고 할 수 있다.5. 근점편각 (Argument of perigee,ω)위성 궤도 요소 출처: Wikipidia근점 편각이란 죠지 교점에서 궤도 근점(물체가 궤도를 돌때에 중심 단체와 가장 근접 지점)까지 각도에서 궤도 면에서는 타원의 방향을 결정하게 된다.만약 궤도의 근점 편각이 0°다면 궤도를 도는 물체는 중심 단체에 가장 가까이 근접하는 순간 기준면을 남쪽에서 북쪽으로 통과한다는 뜻으로, 90°다면 가장 근접하는 순간 기준면에서 북쪽으로 가장 멀리 떨어진 지점에 위치하게 된다.근점 편각 값은 승교점 경도 같은 공식을 이용하고 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\varpi=\combi{\cos}.{-1}\left(\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{e}}{ne}\right)$ϖ=cos− 1(n, ene)또, 마찬가지로 상기와 같이 ez<0의 값을 갖는다면 ω→2π-ω가 된다.다만, 근점 편각은 승교점을 기준으로 계산되는 값이므로 승교점이 없는 적도 궤도의 경우 정의되지 않는다.일례로 이심률이 0인 원형 궤도의 경우 승교점이 없기 때문에 근점 편각을 산출하기 어렵다.(그러나 승교점의 경도를 0으로 하면 2차원식을 따르기도 한다. 그러나 정의에 반하여 엄밀한 식이라고 할 수 없으므로 소개하지 않는다.) 6. 진근점이각(True anomaly, )진근점 2각f 출처 : Wikipidia진근점 이각이란 특정 시간에 물체의 위치를 결정하고 주초점에서 바라본 궤도 근점과 물체의 현재 위치 간 각도이다.위 그림에서는 v가 아닌 f라고 표기되어 있다. $\nu =\combi{\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{e}\times \overrightarrow{R}}{eR}\right)$ν=cos−1( e× ReR)마찬가지로 원궤도의 경우에는 진근점 이각이 정의되지 않는데, 이는 원궤도에서 특절할 만한 궤도 근점이 없기 때문이다.지금까지 모두 6개 위성궤도 필수요소에 대해 알아봤다.그러나 실제로 어떤 조건에서는 이 6가지 필수 요소를 모두 사용할 수 없기 때문에 대체 위성 궤도(Altenate Orbital Elements)가 존재하는데, 다음 포스팅에 이에 대한 글을 싣는다.그럼 이 글을 끝까지 읽은 모두가 행복한 하루 보내세요.